शुक्रवार, दिसम्बर 13, 2019

पूर्णांक संख्या क्या होती है? पूर्णांक परिभाषा

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विकास सिंह
विकास नें वाणिज्य में स्नातक किया है और उन्हें भाषा और खेल-कूद में काफी शौक है. दा इंडियन वायर के लिए विकास हिंदी व्याकरण एवं अन्य भाषाओं के बारे में लिख रहे हैं.

पूर्णांक की परिभाषा (definition of integers in hindi)

संख्या पद्धति (number system) में सभी पूर्ण संख्या (whole numbers) एवं ऋणात्मक संख्या (negative numbers) साथ मिलकर जो संगृह बनाते हैं वह संगृह पूर्णांक कहलाता है। जैसे:  -6, -9, -11, 10, 8, 7, 6, 0 आदि सभी पूर्णांक हैं।

पूर्णांक के प्रकार (types of integers in hindi)

पूर्णांकों को मुख्यतः तीन भागों में विभाजित किया गया है। वे तीन प्रकार निम्न हैं:

  • धनात्मक पूर्णांक (positive integers)
  • ऋणात्मक पूर्णांक (negative integers)
  • शून्य (zero)

धनात्मक पूर्णांक (positive integers in hindi)

जो पूर्णांक संख्याएं धनात्मक होती हैं या जो ऋणात्मक व शून्य नहीं होती हैं, वे संख्याएं धनात्मक पूर्णांक कहलाती हैं।

  • कोई भी पूर्णांक संख्या जिसके आगे धनात्मक(positive) या ऋणात्मक(negative) का कोई चिन्ह नहीं लगा हो ऐसी संख्याएँ पूर्णांक संख्याएँ कहलाती हैं।
  • आमतोर पर धनात्मक पूर्णांकों के आगे लिखने की सुविधा के लिए कोई भी चिन्ह नहीं लगया जाता है। लेकिन कभी कभी हम आवश्यकता के अनुसार धनात्मक पूर्णांकों के आगे धनात्मक चिन्ह लगा लेते हैं।
  • ये पूर्णांक संख्या रेखा पर शून्य के दायीं और स्थित होते हैं।

धनात्मक पूर्णांक के उदाहरण

1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8 ….. आदि सभी संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक के अंतर्गत आएँगी। ऋणात्मक एवं शून्य के अलावा सारे पूर्णांक धनात्मक पूर्णांकों के अंतर्गत आएंगे।

जैसा की हम जानते हैं की ये सभी संख्याएँ पूर्ण संख्या रेखा पर शून्य के दायीं और स्थित होती हैं अतः ये संख्याये धनात्मक पूर्णांक के अंतर्गत आएँगी।

ऋणात्मक पूर्णांक (negative integers in hindi)

  • ऐसी पूर्णांक संख्याएँ जो शूह्य से कम होती हैं वे संख्या ऋणात्मक संख्याएँ कहलाती हैं।
  • इन संख्यायों के आगे ऋणात्मक चिन्ह (negative sign) लगा होता है।
  • ऋणात्मक संख्याएँ संख्या रेखा पर शून्य के बायीं और स्थित होती हैं।

ऋणात्मक पूर्णांक के उदाहरण 

जैसा की हम जानते हैं की जिन संख्यायों के आगे ऋणात्मक चिन्ह लगा होता है एवं जो संख्याएँ शून्य से छोटी होती है वे ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं।

अतः -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, …… आदि सभी संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांक के अंतर्गत आएँगी।

जैसा की हम जानते हैं की ये सभी संख्याएँ संख्या रेखा पर शून्य के बायीं और स्थित होती हैं अतः ये संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांकों के अंतर्गत आएँगी।

शून्य (zero)

  • शून्य पूर्णांकों के अंतर्गत आता हैं लेकिन यह न तो कोई धनात्मक पूर्णांक है एवं न ही ऋणात्मक पूर्णांक है।

पूर्णांकों का जोड़, घटा, गुना एवं भाग करना (properties of integers in hindi)

दो पूर्णांकों के योग का नियम (addition of integers in hindi)

  • (-) + (-) = (+)
  • (+) + (+) = (+)
  • (-) + (+) = (-)
  • (+) + (-) = (-)
  1. समान चिन्ह वाले पूर्णांक का जोड़ :

  • 3 + 4 = 7
  • 8 + 9 = 17
  • 20 + 30 = 50
  • 15 + 15 = 30
  • 30 + 22 = 52

जैसा कि आप देख सकते हैं जब हम समान चिन्ह वाले पूर्णांकों का जोड़ करते हैं तो अगर हम दो धनात्मक पूर्णांकों का जोड करते हैं तो हम संख्या रेखा में बायीं तरफ चलेंगे।

  • (-2) + (-3) = -5
  • (-9) + (-5) = -14
  • (-15) + (-15) = -30

जैसा कि आप देख सकते है  कि जब हम समान चिन्ह वाले दो ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ते हैं तो फिर हम संख्या रेखा पर बायीं और चलते हैं।

2. विभिन्न चिन्ह वाले पूर्णांकों का जोड़

  • (-3) + 4 = (+)1
  • (-5) + 2 =  (-3)
  • -6 + 6 = 0

जैसा कि आप ऊपर दिए गए उदाहरणों में देख सकते हैं जब हम दो विभिन्न चिन्ह वाले पूर्णांकों का योग करते हैं एवं अगर ऋणात्मक चिन्ह वाली संख्या बड़ी है तो जो उत्तर होगा उस पर ऋणात्मक चिन्ह होगा।

अगर हम किसी ऋणात्मक संख्या में धनात्मक संख्या का योग कर रहे हैं तो हम ऋणात्मक संख्या कि स्थिति से दायीं और चलेंगे। अगर धनात्मक संख्या बड़ी है तो उत्तर भी धनात्मक होगा और अगर ऋणात्मक संख्या बड़ी है तो उत्तर भी ऋणात्मक होगा।

अगर हम योग कर रहे हैं एवं ऋणात्मक एवं धनात्मक संख्याएं दोनों एक समान हैं तो फिर उनका योग शून्य के बराबर होगा एवं उसके आगे कोई भी चिन्ह नहीं लगेगा।

दो पूर्णांकों को घटाने के नियम (subtraction of integers in hindi)

  • (-) – (-) = (-)
  • (+) – (+) = (-)
  • (-) – (+) = (+)
  • (+) – (-) = (+)

समान चिन्ह वाले पूर्णांकों को घटाना

  • (-3) – (-4) = +1
  • 3 – 4 = -1
  • (-8) – (-9) = +1
  • (-16) – (-25) = +9
  • (-2) – (-4) = +2

जब हम सामान चिन्ह वाले या विभिन्न चीन वाले पूर्णांकों को घटाते हैं तो हमें दो बार चिन्हों को बदलना पड़ता है। हम पहले उदाहरण के बारे में चर्चा करते हैं। यहां देख सकते हैं की 4 के आगे ऋणात्मक चिन्ह है एवं 3 के बाद भी ऋणात्मक चिन्ह है। अतः दोनों सामान चिन्ह मिलकर धनात्मक चिन्ह बना देंगे। अब 4 धनात्मक हो गया है एवं 3 ऋणात्मक है। अब ये संख्याएँ कुछ ऐसी दिखेंगी : -3 + 4 अब हम इसे आसानी से हल करके बता सकते हैं की इसका उत्तर +1 आएगा। इस प्रकार हम सामान चिन्ह वाले पूर्णांकों को घटा सकते हैं।

विभिन्न चिन्ह वाले पूर्णांकों को घटाना

  • (-3) – 4 = -7
  • 3 – (-4) = 7
  • 8 – (-9) = 17
  • (-16) – 25  = -41
  • (-2) – 4 = -6

जैसा की हम सामान चिन्ह वाले पूर्णांकों  को घटाने के लिए करते हैं वैसे ही हम विभिन्न चिन्ह वाले पूर्णांकों को घटाने के लिए दो बार चिन्ह को बदलेंगे। उदाहरण के तौर पर हम (-16) – 25 इस को हल करते हैं। यहां 16 एक ऋणात्मक संख्या है एवं 25 एक घनात्मक संख्या है। हम देख सकते हैं की 25 के आगे कोई भी चिन्ह नहीं है। अतः यह घनात्मक है तो हम इसके आगे + का चिन्ह लगा लेते हैं। अब ये कुछ इस प्रकार है : (-16) – (+25) हम देख सकते हैं की  25 के आगे + का चिन्ह है एवं 16 के बाद – का चिन्ह है। ये चिन्ह मिलकर – का चिन्ह बनायेंगे। अब ये कुछ इस प्रकार है : -16 – 25 इसे हम आसानी से हल करके बता सकते हैं कि इसका उत्तर -41 आएगा।

दो पूर्णांकों के गुणनफल का नियम (multiplication of integers in hindi)

  • (-) * (-) = (+)
  • (+) * (+) = (+)
  • (-) * (+) = (-)
  • (+) * (-) = (-)

दो पूर्णांकों के विभाजन के नियम (division of integers in hindi)

  • (-) / (-) = (+)
  • (+) / (+) = (+)
  • (-) / (+) = (-)
  • (+) / (-) = (-)

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