द्विपद प्रमेय : परिभाषा, सूत्र एवं उदाहरण

द्विपद प्रमेय की परिभाषा (binomial theorem in hindi)

द्विपद प्रमेय एक ऐसा बीजगणितीय सूत्र है जिससे हम x + y के रूप के द्विपद के किसी धन पूर्णांक घातांक का मान x एवं y के nवें घात के बहुपद के रूप में निकाल सकते हैं।

द्विपद जब बड़े रूप में होता है उस समय पद के गुणक ही द्विपद गुणक होते है। हम a + b एवं a – b जैसे पदों का वर्ग एवं घन निकालना पहले से ही जानते हैं।

कभी कभी ऐसा होता है की कुछ पद ऐसे आते हैं जिनमे 5 या 6 या उससे ज्यादा का गुणांक होता है। ऐसे में इसे हल करना जटिल एवं पेचीदा हो जाता है। तब द्विपद प्रमेय हमारे काम आती है। द्विपद प्रमेय हमें ऐसे बड़े पदों को सरल करने का एक सरल तरीका बताती है।

द्विपद प्रमेय सूत्र (binomial theorem formula)

जैसा कि हमने ऊपर पढ़ा द्विपद प्रमेय हमें बड़े घातांक वाले द्विपदों को आसानी से हल करने का तरीका बताती है। इसका सूत्र भी इसी प्रकार है। हमें बस इसमें वैल्यूज रखनी हैं एवं उसके बाद हमें गणना करनी है। इससे बड़े से बड़ा घातांक वाला द्विपद हल हो जाता है। इसका सूत्र इस प्रकार है :

जैसा कि आपने देखा यह सूत्र हमें एक द्विपद जिसका बड़ा घातांक है उसे आसानी से हल करता है।

उदाहरण (binomial theorem examples):

आइये अब हम द्विपद प्रमेय से किसी द्विपद को हल करना उदाहरण के साथ सीखते हैं।

उदाहरण: (98)⁵

जैसा कि आप देख सकते हैं यहाँ हमें एक पद दे रखा है एवं उसका घातांक 5 है। अगर हम इसे वास्तविकता में गुना करके हल करेंगे तो उसमे बड़ा समय लग जाएगा एवं यह बहुत पेचीदा हो जाएगा। अतः हम इसे द्विपद प्रमेय की सहायता से हल करेंगे।

• सबसे पहले हम इसे हल करने के लिए एक द्विपद के रूप में लिखेंगे।

(98)⁵ = (100-2)⁵

• जैसा कि आपने ऊपर देखा हमारे पास एक द्विपद एवं घातांक आ चुका है। अतः अब हम इसे सीधे सूत्र में लिख देंगे। इससे यह आसानी से हल हो जाएगा।

= 5C0 (100)5 – 5C1 (100)4.2 + 5C2 (100)322 – 5C3 (100)2 (2)3 + 5C4 (100) (2)4 – 5C5 (2)5

• तो जैसा कि आपने देखा हमने द्विपद की वैल्यूज को सूत्र में रख दिया है एवं अब हमारे पास बड़ा सा समीकरण बन गया है। इसे हम गणना करके आसानी से हल करेंगे।

= 10000000000 – 5 × 100000000 × 2 + 10 × 1000000 × 4 – 10 ×10000 × 8 + 5 × 100 × 16 – 32

• हम इसे और आसान करेंगे जब तक ये बिलकुल साधारण रूप में ना आजाये।

= 10040008000 – 1000800032

 = 9039207968

तो जैसा कि आपने देखा हमने एक बड़े घातांक वाले द्विपद को वास्तविक में गुना किये बिना द्विपद प्रमेय से हल कर दिया। इसी तरह बड़े घातांक वाले द्विपदों को द्विपद प्रमेय से आसानी से हल किया जा सकता है।

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