द्विघात समीकरण: परिभाषा एवं गुणनखंड विधि से हल करने की प्रक्रिया

द्विघात समीकरण क्या होता है? (quadratic equation)

ऐसा समीकरण जिसकी उच्चतम घात 2 होती है ऐसे समीकरण को द्विघात समीकरण कहा जाता है। द्विघात समीकरणों को हम दो घात वाला समीकरण भी कहा जाता है। इस समीकरण को एक उदाहरण के साथ समझते हैं। मान लीजिये हमारे पास एक ज़मीन का टुकड़ा है एवं हम वहाँ एक घर बनाना चाहते हैं। मान लेते हैं ज़मीन का टुकड़ा 300 m2 है। अब हम अपने घर की चौड़ाई को अपनी लम्बाई को दो गुना रखना चाहते हैं।

हम यदि घर की लम्बाई को x मानते हैं तो घर की चौड़ाई 2x हो जायेगी। हम यह भी जानते हैं की घर का क्षेत्रफल लम्बाई x चौड़ाई होता है। तो हम इसे ऐसे लिख सकते हैं:

घर का क्षेत्रफल = (x)*(2x) = 2x²

अगर :

 2x² = 300

तो

x = 24.495 m

अतः जैसा कि आपने ऊपर देखा हम इस तरह द्विघात समीकरणों की मदद से वास्तविक जीवन की कई समस्याओं का आसान समाधान कर सकते हैं। द्विघात समीकरण हमें वास्तविक जीवन की समस्याओं को आसानी से समझने में मदद करता है।

द्विघात समीकरणों का मानक रूप

एक द्विघात समीकरण का मानक रूप ax² + bx + c को माना जाता है। यहाँ x का मान अज्ञात होता है a, b एवं c गुणांक होते हैं एवं शून्य के बराबर नहीं होते है।

अतः

द्विघात समीकरण का मानक रूप : ax² + bx + c

द्विघात समीकरणों को हल करने का मतलब होता है?

द्विघात समीकरणों को हल करनेका मतलब उनके मूल या शून्य निकालने से है। शून्य या मूल वह संख्या होती है जिसे अगर हम अगर उस समीकरण में चार कि जगह रख दें एवं उस समीकरण को हल करें तो वह शून्य के बराबर हो जायेगी।

अतः हल करने का मतलब हमें ऐसी संख्या निकालनी है जिसे अगर चार की जगह रखा जाए तो हमें द्विघात समीकरण की जगह शून्य मिल जाता है।

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द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि

द्विघात समीकरणों को हम दो विधियों से हल कर सकते हैं :

1. गुणनखंड विधि
2. पूर्ण वर्ग विधि

जैसा कि आपने ऊपर देखा एवं जाना की हम द्विघात समीकरणों को दो तरीकों से हल कर सकते हैं।

इससे पहले हमनें पूर्ण वर्ग विधि से द्विघात समीकरण को हल करना सीखा।

गुणनखंड विधि (factorization method in hindi)

आइये हम इस विधि को एक उदाहरण के साथ समझते हैं:

• हम एक समीकरण लेते हैं जिसे प्रक्रिया में हम हल करके समझेंगे :

2x² – 5x + 3 = 0

• जैसा की आप देख सकते हैं यहां हमारे पास एक द्विघात समीकरण है जिसे हमें हल करना है यह ax² + bx + c के रूप में है। अतः यह एक द्विघात समीकरण है।
• अब हमें इस समीकरण के मध्य भाग को दो भागों में विभाजित करना है। इसको विभाजित करने की यह सहरत होती है की जो दो भाग होंगे उनका योग मध्य भाग जितना होना चाहिए एवं उन दोनों भागों का गुणनफल पहले एवं तीसरे पदों के गुनाकों के गुणनफल के बराबर होना चाहिए।
• तो चलिए हम इसी तरह मध्य भाग को दो भागों में विभाजित करते हैं।

 2x² –2x –3x + 3 = 0

• जैसा की आपने ऊपर देखा हमने इस तरह दो भाग किये की उनका योग मध्य भाग के बराबर है एवं गुणनफल हले एवं तीसरे पदों के गुनाकों के गुणनफल के बराबर है।

योग: -2x – 3x = -5x

गुणनफल : -2*-3 = 6

• तो इस तरह हमारा मध्य भाग का विभाजन बिलकुल उन्हीं शर्तों के हिसाब से है जोकि चाहिए था। अता अब हम आगे बढ़ते हैं।
• अब हमें पहले दो एवं आखिरी दो पदों के जोड़े बनाने हैं।

(2x² –2x) –(3x – 3) = 0

• आप ऊपर देख सकते हिं हमने पहले एवं आखिरी दो पदों के जोड़े बना लिए हैं एवं अब हमने इन दो जोड़ों में कोई संख्या इस प्रकार common लेनी है की दोनों brackets के अन्दर समान पद आ जाएँ।

2x(x-1) – 3(x-1) = 0

= (2x – 3)(x – 1)

• जैसा की आपने ऊपर देखा हमने दोनों brackets में से संख्या common ले ली है इससे दो brackets में समान संख्याएं हो गई हैं। हमने समान संख्या वाले दो ब्रैकेट को एक बार लिखकर बची संख्याओं को दुसरे ब्रैकेट में लिखा दिया है.
• अब हमारे पास इस समीकरण के दो संभव शून्य हैं। हम इन दोनों brackets को एक एक करके 0 से तुलना करेंगे एवं जो संख्या आएगी इस समीकरण का हल होगी या शून्य होगी।

2x – 3 = 0 ; x – 1 = 0

x = 3/2  ;  x = 1

• तो जैसा की आप देख सकते हैं यहाँ हमें दो शून्य मिल गए। इनका मतलब है कि अगर हम उस समीकरण में चर की जगह इन दो में से कोई एक संख्या रख दें तो उस समीकरण का हल 0 हो जाएगा।
• इस प्रकार हम एक समीकरण को गुणनखंड विधि से हल कर सकते हैं।

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