गोले का आयतन क्या है? सूत्र

गोला क्या होता है? (sphere in hindi)

गोला एक विशेष प्रकार का ठोस होता है जिसका केवल एक तल होता है। यह ऐसा तल होता है जिसका हर बिंदु एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर होता है।

जिस प्रकार वृत्त एक द्विआयामी आकृति होती है एवं उसमे उसके केंद्र से उसकी परिधि पर हर बिंदु समान दूरी पर होते हैं। इसी प्रकार गोला त्रिआयामी आकृति है जिसमे बहुत से बिंदु एक निश्चित बिंदु से सामान दूरी पर होते हैं।

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गोले के गुणधर्म (properties of sphere in hindi) :

• एक गोला पूर्णतया समरूप होता है।
• इसके तल पर सभी बिंदु इसके केंद्र से सामान दूरी पर होते हैं।
• इसमें कोई शीर्ष या किनारा नहीं होता है।
• गोले का सिर्फ एक ही तल होता है।
• यह एक बहुतल आकृति नहीं होती है।

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गोले का आयतन (volume of sphere in hindi)

जैसा कि हम जानते हैं आयतन से तात्पर्य होता है की वह त्रिआयामी ठोस अपने अन्दर कितनी क्षमता रखता है। इसका मतलब उसके अन्दर कितना द्रव्य आ सकता है। किसी ठोस के अन्दर कितना द्रव्य आ सकता है यह उसकी क्षमता की तरफ इशारा करता है।

लेकिन गोले का आयतन निकालने के लिए हम आर्कमिडीज का सिद्धांत प्रयोग करते हैं। इस सिद्धांत के अनुसार अगर हम किसी पानी से भरे बर्तन में कोई ठोस चीज़ डालते हैं तो बाहर गिरे पानी का आयतन उस ठोस के आयतन के बराबर होता है।

लेकिन हर बार आर्कमिडीज का सिद्धांत लगाना संभव नहीं होता अतः हमें इसका एक सूत्र निकालना होता है। यह हम इस प्रकार निकाल सकते हैं :

• सबसे पहले हम एक बेलन के आकार के एक पात्र में हम गोल ठोस डालेंगे।

• ऊपर दिए गए चित्र में जैसा कि आप देख सकते हैं यहाँ हमने एक बेलन पात्र में एक ठोस गोला डाला है।
• अब हम देख सकते हैं की गोले का व्यास एवं त्रिज्या बेलन के वृत्त के व्यास एवं त्रिज्या के बराबर हैं।
• इस गोले की सतह बेलन कि ऊपर एवं नीचे की सतह को छू रही है अतः गोले एवं बेलन की ऊंचाई भी समान होगी।
• हम यह जानते हैं की गोलाकार ठोस आयतन बेलन के आयतन का 2/3 हिस्सा होता है। इससे हमें यह प्राप्त होता है:

गोले का आयतन = 2/3 बेलन का आयतन या 2/3  πr²h

h = 2r 

अतः

गोले का आयतन = 2/3 πr²  * (2r)

अतः

गोले का आयतन  = 4/3 πr³

एक गोले का आयतन हम निचे दिए गए सूत्र में मान रखकर निकाल सकते हैं:

गोले का आयतन = 4/3 πr³

यहाँ r का तात्पर्य है उस दूरी से जो केंद्र एवं दुसरे हर बिंदु के बीच है। जैसा कि हम जानते हैं एक गोले के हर बिंदु से केंद्र के बीच में सामान दूरी होती है।

उदाहरण (solved questions and examples)

आइये अब हम गोले का आयतन निकालना उदाहरणों के साथ सीखेंगे।

उदाहरण 1: एक ऐसे गोले का आयतन निकालिए जिसकी त्रिज्या 3 cm है।

हल : जैसा कि हमने ऊपर प्रक्रिया में देखा था की सबसे पहले हमें गोले कि त्रिज्या चाहिए होगी जो कि पहले ही इस प्रश्न में दे रखी है।

गोले की त्रिज्या : 3 cm 

अब हम गोले का आयतन निकालने के लिए सूत्र लगायेंगे।

गोले का आयतन = 4/3 πr³

सूत्र लिखने के बाद हम उसमे मान लिखेंगे :

 = 4/3 * 22/7 * 3 * 3 * 3

मान लिखने के बाद हम इसे हल कर देंगे एवं हमारे पास गोले का आयतन आ जाएगा।

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