शंकु का आयतन क्या होता है? सूत्र

शंकु क्या होता है? (definition of cone in hindi)

शंकु(cone) एक ऐसी त्रिआयामी(3d) आकृति है जिसका एक गोलाकार आधार होता है एवं जिसका शीर्ष एक बिंदु होता है। हम अगर एक समतल में देखें तो शंकु ऐसे रेखा खण्डों से बना होता है जो शीर्ष पर बिंदु है उसे आधार के सभी बिंदु से जोड़ते हैं। ऐसा होने पर शंकु बनता है।

ऊपर दी गयी आकृति में जैसा कि आप देख सकते हैं यहाँ एक गोलाकार आधार है एवं सबसे ऊपर शीर्ष पर एक निश्चित बिंदु है। अतः यह त्रिआयामी आकृति एक शंकु कहलाएगी।

शंकु के गुणधर्म (properties of cone in hindi):

आइये अब हम इस आकृति के कुछ गुणधर्मों के बारे में चर्चा करते हैं :

• शीर्ष : एक शंकु में एक शीर्ष होता है। शंकु के किनारों को घुमाया जाता है एवं उन्हें एक बिंदु पर मोड़ दिया जाता है जिससे हमें शंकु का शीर्ष मिलता है।

• एक शंकु की चौड़ाई उसके गोलाकार फलक का व्यास होता है।

• फलक : एक शंकु में केवल एक फलक होता है एवं वह फलक गोलाकार होता है। यह शंकु का नीचे का हिस्सा होता है। इसे शंकु का आधार भी कहा जाता है।

शंकु का आयतन (volume of cone in hindi)

जैसा कि हम जानते हैं शंकु एक त्रिआयामी आकृति है जिसका गोलाकार आधार होता है। इसकी बनावट के आधार पर हम इसके आयतन समान आधार वाले बेलन के आयतन का तीसरा हिस्सा मानते हैं। जैसा कि हम जानते हैं एक बेलन का क्षेत्रफल πr²h होता है जहां r गोलाकार आधार की त्रिज्या होती है एवं h लम्ब ऊंचाई होती है।

बेलन का आयतन = πr²h 

शंकु का आयतन = ¹/₃ बेलन का आयतन 

अतः

शंकु का आयतन = ¹/₃ πr²h

जहां r इस शंकु के गोलाकार आधार की त्रिज्या है एवं h इस शंकु की लम्ब ऊंचाई है।

उदाहरण:

आइये अब हम शंकु का आयतन निकालना उदाहरणों के साथ सीखते हैं:

उदाहरण 1: एक शंकु का आयतन 9856 cm³ है। अगर इस शंकु की आधार का व्यास 28 cm है तो इस शंकु की लम्ब ऊंचाई, तिर्यक ऊंचाई एवं वर्क पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

हल : 

शंकु का आयतन = 9856 cm³

गोलाकार आधार का व्यास = 28 cm

गोलाकार आधार की त्रिज्या = 14 cm

अब हम आयतन का सूत्र लिखेंगे एवं उसे उसके मान से तुलना करेंगे :

1/3 πr²h = 9856 cm³

 = 1/3 × 22/7 × 14 × 14 × h = 9856

h = 9856 × 3 × 7 /14 × 14 × 22 = 48 cm

शंकु की लम्ब ऊंचाई = h = 48 cm

शंकु कीई तिर्यक ऊंचाई = l = √r² + h² = √ 14^2 ₊ 48²  

तिर्यक ऊँचाई = l =  50 cm

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl = 22/7 × 14 × 50 

अतः

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2200 cm² 

इसी प्रक्रिया से हम किसी भी शंकु का आयतन निकाल सकते हैं।

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