यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका: परिभाषा, प्रक्रिया एवं उदाहरण

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid’s division lemma in hindi)

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका हमें  बताती है कि अगर हमारे पास दो धनात्मक पूर्णांक a एवं b हैं तो ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएं भी संभव है जो a = bq + r, 0 <= r < b को सिद्ध करते हैं।

• r – शेषफल एवं q – भागफल के लिए उपयोग किया जाता है।

कलन विधि (Euclid’s division algorithm) :

यह एक विधि है जिससे हम दी गयी दो पूर्णांक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक(HCF) निकालते हैं। इस विधि का आधार यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका को ही कहा जाता है।

• जैसा कि हम जानते हैं की महत्तम समापवर्तक वह सबसे बड़ी संख्या है जिससे दी हुई संख्याओं को पूरा विभाजित कर सकते हैं। पूरा विभाजित करने से हमारा तात्पर्य है कि विभाजन के बाद शेषफल शून्य निकलता है।

आइये हम अब कलन विधि से किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं c एवं d का महत्तम समापवर्तक निकालने की प्रक्रिया को समझते हैं:

1. मान लिया हमारे पास दो संख्याएं हैं c एवं d एवं c संख्या d संख्या से बड़ी है। तो हम सबसे पहले c को लेते हैं। हम यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके हम अब ऐसे q एवं r को ढूँढेंगे ताकि c = dq + r हो एवं 0 <= r < d हो।
2. यादो r = 0 हो जाता है तो r संख्या c एवं d संख्याओं का महत्तम समापवर्तक है। यदि r अभी 0 नहीं हुआ है तो हम फिर से यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करेंगे।
3. हम यही क्रिया तब तक दोहराते रहेंगे जब तक कि हमें शेषफल 0 नहीं प्राप्त हो जाए। अगर हमें 0 प्राप्त हो जाता है तो जो भाजक हमारे पास आया है वाही उन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक होगा।

उदाहरण:

आइये अब हम ऊपर दी गयी प्रक्रिया को कुछ उदाहरणों के साथ करके देखते हैं :

• हम मान लेते हैं कि हमारे पास दो संख्याएं हैं 78 एवं 980 जिनका हमें महत्तम समापवर्तक निकालना है। तो हमें पहले बड़ी संख्या लेनी है एवं उसमे यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करना है। हम बड़ी संख्या को c मानते हैं एवं छोटी संख्या को d तो हमें यह कुछ इस प्रकार करना है :

c = dq + r

980 = 78 × 12 + 44

• जैसा कि हम देख सकते हैं यहाँ c = 980 है, d = 78 है, q = 12 है एवं r = 44 है।
• अब हम 78 को c मान लेते हैं एवं उसके साथ भी वाही करते हैं।

78 = 44 × 1 + 34

• अब हम 44 को c मान लेते हैं एवं उस प्रक्रिया को दोहराते हैं।

44 = 34 × 1 + 10

• जैसा कि हम देख सकते हैं की अभी तक हमें शून्य की प्राप्ति नहीं हुई है एवं जैसा की प्रक्रिया में बताया गया था की जब तक शून्य नहीं आ जाता हमें वह दोहरानी है। अतः हम यह फिर से दोहराएंगे।

34 = 10 × 3 + 4

10=4×2+2

4=2×2+0

• अब जैसा कि आप ऊपर देख सकते हैं हमें 0 शेषफल की प्राप्ति हुई है तो अब हम इस प्रक्रिया को रोक देंगे। जो भाजक होगा वही इन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक होगा। जैसा कि हम देख सकते हैं आखिरी बार प्रक्रिया में भाजक 2 था तो इन दोनों संख्याओं जो कि 980 एवं 78 हैं का महत्तम समापवर्तक भी 2 होगा।

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