विषय-सूचि
बहुपद के शून्य क्या होते हैं? (zeros of polynomial in hindi)
बहुपद के मूल वे होते हैं जो बहुपद को पूरी तरह विभाजित कर देते हैं। बहुपदों का मूल निकालने के लिए हम उनका गुणनखंडन करते हैं। गुणनखंडन करने पर जो हल निकलता है वे इस बहुपद के मूल होते हैं।
बहुपद के शून्य निकालने की प्रक्रिया (factorization of polynomial in hindi)
- मूल निकालना शुरू निकालने से पहले हम देखते हैं कि क्या हम सभी पदों में कुछ common ले सकते हैं क्या ताकि समीकरण थोडा साधारण हो जाए।
- अब हम बीच वाले पद को लेते हैं एवं उसके हमें दो भाग करने है एवं इस प्रकार करने हैं की उनके गुनाकों का योग बीच वाले पद के गुणांक के बराबर हो एवं गुणनफल तीसरे पद जितना हो।
- अब इस समीकरण में चार पद हो जायेंगे। अब हमें पहले दो पद में कोई संख्या common लेनी है एवं आखिरी के दो पदों में भी संख्या common लेनी है ताकि पहले पद जैसे ही आखिरी पद हो जाए।
- अब हमारे पास दो कोष्टक हो जायेंगे। हम उन दोनों को शून्य के बराबर रखेंगे जिससे हमारे पास x की दो वैल्यू आएँगी उनमे से एक या दोनों समीकरण के मूल होंगे।
बहुपद के गुणनखंड का उदाहरण (examples of factorization of polynomial in hindi)
आइये हम उदाहरण के साथ एक बहुपद के मूल निकालना सीखते हैं :
x4 + 7×2 – 18 = 0
- ऊपर हम देख सकते हैं कि हमे एक बहुपद दिया गया है जिसका हमें मूल निकालने हैं। जैसा कि हम देख सकते हैं इसकी डिग्री 4 है क्योंकि 4 सबसे बड़ा घातांक है। अतः अब हम इसके मूल निकलना शुरू करते हैं।
- सबसे पहले हम देखते हैं कि हम इन तीनों पदों में कुछ common ले सकते हैं क्या। पहले पद में गुणांक 1 है दुसरे में 7 एवं तीसरे में गुणांक 18 है। अत गुणांक में हम कुछ भी common नहीं ले सकते हैं।
- अब हमे बीच वाले पद को दो भागों में बांटना है। हमें बांटते हुए यह ध्यान रखना है जो दो संख्याएं आएँगी उनका योग 7×2 के बराबर होना चाहिए एवं उनका गुणनफल 18 के बराबर होना चाहिए।
x4 + 9×2 -2×2 – 18 = 0
- ऐसा होने के लिए 7×2 के जो दो हिस्से होंगे वो हैं 9×2 एवं -2×2 हैं। जैसा कि हम देख सकते हैं 9 एवं -2 का गुणनफल 18 होता है एवं योग 7 होता है। अतः हमने इसके दो हिस्से कर लिए हैं।
- अब हमें पहले दो एवं आखिरी दो पदों में common लेना है।
x2(x2 + 9) -2(x2 + 9) = 0
- जैसा कि आपने देखा हमने पहले दो पदों में x2 common लिया एवं दुसरे दो पदों में -2 common लिया इससे अब समीकरण बदल गया है।
(x2 – 2) (x2 + 9) = 0
- अब हमें एक एक करके दोनों पदों को शून्य के बराबर रखना है इससे x के दो मान आयेंगे वे इस बहुपद के दो मूल होंगे।
x2 – 2 = 0 , x2 + 9 = 0
x2 = 2 , x2 = -9
x=√2 , x = -√9
- जैसा कि आपने ऊपर देखा जब हमने पहले पदों को शून्य के बराबर रखा तो x=√2 आया। एवं जब दुसरे पदों को शून्य के बराबर रखा गया तो x = -√9 जो कि असंभव है।
- अतः इस बहुपद का मूल x=√2 होगा।
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